Introducció
1. Corbes al pla i a l?espai
1.1. Corbes a l?espai
1.2. La curvatura d?una corba plana
1.3. El tríedre de Frenet d?una corba a l?espai
1.4. El teorema fonamental
1.5. Exercicis
2. Superfícies
2.1. Què és una superfície?
2.2. Funcions diferenciables
2.3. El pla tangent
2.4. La primera forma fonamental
2.5. Exercicis
3. Curvatura
3.1. Superfícies orientables
3.2. L?aplicació de Gauss: curvatura
3.3. La segona forma fonamental
3.4. Corbes sobre una superfície
3.5. El teorema egregi de Gauss
3.6. El teorema fonamental de la teoria local de superfícies
3.7. Exercicis
4. Algunes superfícies notables
4.1. Superfícies de revolució
4.2. Superfícies reglades
4.3. Superfícies minimals
4.4. Exercicis
5. Geodèsiques
5.1. Derivada covariant i transport paral.lel
5.2. Geodèsiques
5.3. L?aplicació exponencial: propietats minimals de les geodèsiques
5.4. El teorema de Hopf-Rinow
5.5. Exercicis
6. El teorema de Gauss-Bonnet
6.1. Algunes qüestions preliminars
6.2. Una expressió per a la curvatura geodèsica
6.3. El teorema local de Gauss-Bonnet
6.4. El teorema de Gauss-Bonnet
6.5. L?índex d?un camp vectorial amb singularitats aïllades
6.6. Exercicis
7. Curvatura constant
7.1. Introducció: geometries no euclidianes
7.2. Un recíproc del teorema egregi
7.3. Superfícies de revolució de curvatura constant
7.4. Superfícies de curvatura constant positiva
7.5. Superfícies de curvatura constant nul.la
7.6. Superfícies de curvatura constant negativa: el pla hiperbòlic
7.7. Exercicis
Bibliografia
Aquest llibre és una introducció a la geometria diferencial de les corbes i les superfícies de l?espai pensada per a estudiants del grau en matemàtiques. L?estudi de les corbes es limita a l?estudi local mitjançant les fórmules de Frenet. El contingut principal del curs gira al voltant de les superfícies, tant en els seus aspectes locals, com ara la curvatura de Gauss i les geodèsiques; com en alguns aspectes globals, com per exemple el teorema de Gauss-Bonnet o l?anàlisi de les superfícies completes de curvatura constant, desenvolupat al darrer capítol. El text recull essencialment el contingut dels cursos impartits per l?autor al grau en matemàtiques de la UPC, aprofundint en alguns dels continguts presentats.
